Usamos propiedades de la congruencia y semejanza de triángulos para resolver diversas situaciones

Semana 15

(día 3)

Construcción de biohuertos 

Jonathan tiene un biohuerto triangular en su casa. Ahí cultiva, de forma ecoeficiente, seis tipos de

vegetales. Sus tíos César y Estela quieren construir sus biohuertos idénticos al de su sobrino en todos

los aspectos: distribución del terreno, la cantidad y ubicación de aspersores para regar los vegetales,

forma y tamaño del biohuerto. Sus terrenos presentan estas características:

• Terreno de César: tiene dos ángulos de igual medida a 66° y el lado entre ellos mide 9 m.

• Terreno de Estela: tiene dos lados de igual medida a 11,10 m y el ángulo que forman mide 48°.

• Terreno de Jonathan: tiene dos lados de igual medida a 11,10 m y el ángulo que forman mide 48°.

Dos ángulos miden 66° cada uno. El lado de menor medida mide   9 m.

1. Comprueba si los terrenos de César y Estela tienen igual forma y tamaño que el terreno de su sobrino Jonathan.

Comprendemos la situación 

1. Representa gráficamente qué significan estos datos en un triángulo.

• Dos ángulos de igual medida a 66° y el lado entre ellos mide 9 m.

• Dos lados de igual medida a 11,10 m. El ángulo que se forma entre los dos lados mide 48°.

2. Representa el terreno de Jonathan con sus respectivas medidas. 

Diseñamos una estrategia  o plan

Describe un procedimiento para comprobar lo que se solicita en la situación.

1. Recordare los criterios para identificar dos triángulos congruentes.

2. Graficare los tres triángulos según los datos proporcionados por la situación.

3. Compararé los terrenos de Jonathan y su tío César considerando los criterios de                                congruentes del triangulo.

4. Compararé los terrenos de Jonathan y su tía Estela de acuerdo a los criterios de                        congruentes del triangulo.

5. Responderé a la pregunta de la situación.  

Ejecutamos la estrategia o plan

1. Comprobamos si los terrenos de César y Estela tienen igual forma y tamaño que el terreno de su sobrino Jonathan.

Los terrenos triangulares de César y Estela son congruentes con el de Jonathan. Es decir, tienen la misma forma (triángulo isósceles) y las mismas medidas en sus lados y ángulos.

Reflexionamos sobre lo desarrollado

1. Si los terrenos de César y Estela tienen forma triangular congruente a la del terreno de su sobrino, ¿cómo serán los terrenos entre sí?

.-Tienen igual forma e igual tamaño.Sus ángulos interiores tienen las mismas medidas y sus lados correspondientes igual longitud.

2. En los triángulos rectángulos, ¿se cumplirán los criterios de congruencia? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

.-  Si se cumple los criterio de congruencia. La única diferencia es que uno de los ángulos del triangulo es recto, es decir, mide 90°. 

Semana 15

(día 3)

Midiendo la altura con una sombra

La maestra de Jonathan le ha planteado un reto: calcular la altura del edificio que está frente a su casa. Para ello, le ha indicado que se ubique cerca del edificio, mida las sombras que proyectan él y

el edificio en ese instante y luego determine la altura del edificio.

Jonathan obtiene estos datos: su sombra mide 2 m, la sombra del edificio a la misma hora mide 12 m. Además, la estatura de Jonathan es 1,50 m. ¿Cómo podría calcular Jonathan la altura del edificio con ayuda de las medidas de las sombras?

1. ¿Cómo podría calcular Jonathan la altura del edificio con ayuda de las medidas de las sombras?

-Sombra de jonathan:2m

-sombra del edificio:12m

-estatura de jonathan:1,50

-Altura del edificio: h.

Resolvemos:

h/1,50__12/2

2h=1,50x12


h=9m.

Representamos líneas notables de un triángulo y aplicamos sus propiedades para resolver diversas situaciones

Plantea un problema que involucre el baricentro o circuncentro de un área triangular.

En el triángulo de la figura, con coordenadas conocidas de los tres vértices. Hallar las coordenadas del baricentro mediante la media aritmética de las coordenadas de los vértices o por la intersección de las medianas, conociendo las ecuaciones de las rectas a las que pertenecen.

Representamos información e interpretamos gráficos estadísticos y medidas de tendencia central al resolver situaciones cotidianas

SEMANA 13

(día 3)

Comprendemos el problema

1. ¿De qué trata la situación significativa? 

.-Trata del número de estudiantes del 3° grado que sintonizan un programa deportivo de televisión durante el mes de junio.

2. ¿Qué tipo de gráfico se muestra en la situación significativa? Explica sus características.


.-En la situación significativa se muestra un gráfico Histograma,

Las principales características de los histogramas son:

-Solamente se representa una sola variable.

-La variable representada debe ser cuantitativa continua.

-A cada intervalo de la variable le pertenece una única barra.

-Cada barra tiene el mismo ancho concreto.

-El alto de la barra para cada intervalo dependerá del valor de su frecuencia.

-El gráfico puede adoptar un formato vertical u horizontal.

-En un histograma (a la inversa para la versión horizontal):

El eje X (abscisas) representa a cada intervalo de la variable.

El eje Y (ordenadas) representa la frecuencia de cada intervalo de la variable.


3. ¿Qué representa en el gráfico la cantidad de estudiantes?

.-En el gráfico representa la cantidad de veces que los estudiantes sintonizan un programa deportivo de televisión durante junio

4. ¿Qué representa en el gráfico la cantidad de veces? 

.-Representa el numero de veces que se repite un dato en especifico este numero es la frecuencia de ese dato la frecuencia va en el eje y (la variable dependiente) y el dato en el eje x

Diseñamos o seleccionamos una estrategia o plan

1. Describe el procedimiento que realizarías para dar respuesta a las preguntas de la situación significativa.

Para responder la pregunta seguiré el siguiente procedimiento:

• Calculo la moda de los puntajes que obtuvo cada deportista.

• Calculo la mediana de los puntajes que obtuvo cada deportista.

• Hallo la media aritmética de los puntajes que obtuvo cada deportista.

• Organizo el valor de las medidas de tendencia central en una tabla e interpreto los valores hallados.

• Identifico al deportista que debe elegir el entrenador para el partido decisivo.

SEMANA 13

(día 4)

1. Dadas las masas corporales de 10 niños: 42 kg, 38 kg, 46 kg, 40 kg, 43 kg, 48 kg, 45 kg, 43 kg, 41 kg y 39 kg, ¿cuál o cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas?

I) La moda de la distribución es 43 kg.
II) El promedio es menor que 43 kg.
III) La mediana coincide con la moda.


a) Solo I b) Solo I y III c) Solo I y II d) Solo II y III

La respuesta es: a) Sólo I.

La segunda posible respuesta es: b) Sólo I y III.

Explicación paso a paso:

I) La moda de la distribución es 43 kg porque es el único dato que se repite más de una vez, por lo cual es la más frecuente.

II) El promedio no es menor que 43 kg, el promedio es el siguiente:

48+46+45+43+43+42+41+40+39+38 = 445 kg / 10 =

Promedio = 44,5 kg.

III) La mediana no coincide con la moda, ya que al organizar los datos:

48

46

45

43

43

42

41

40

39

38

Nos damos cuenta de que la mediana es 43 - 42, por lo cual se dividen estos datos y el resultado es = 42,5 kg.

Esto es matemáticamente correcto, por eso la primera opción de la respuesta es la única correcta.

Si te permiten redondear los datos entonces la segunda es la opción correcta, pero hablando en términos exactos, solamente la opción a es correcta.

ALTERNATIVA A



2. El gráfico representa los puntajes obtenidos por 15 niñas y niños en una prueba. ¿Cuál o cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos? 

I) La mediana es 5.
II) La moda es 5.
III) La media aritmética (promedio) es aproximadamente 4,73.


a) Solo II b) Solo III c) Solo II y III d) I, II y III

Para este problema, la mediana es el valor que se encuentra en la mitad de los datos una vez ordenados de menor a mayor.

Para visualizar mejor este concepto, interpretamos los datos del gráfico de la siguiente manera:

Notas: 1, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7

En este caso el número total de niños es 15, por lo tanto, el valor de la mediana debe corresponder a la octava nota que es el 5.

La moda es el valor que más se repite en una distribución, en este caso, es la nota 5,0, porque la obtuvieron un mayor número de niños, que fue 4.

En este ítem para determinar el promedio o media aritmética , se debe realizar la siguiente operación:

X= 71/ 15 Por lo que el promedio es la nota 4,73 , considerándola con un solo decimal.


ALTERNATIVA D

Empresa de transporte interprovincial

Se contabilizaron las horas de manejo mensuales de conductores de dos empresas de transporte interprovincial. Se obtuvieron las siguientes tablas:

Con esta información, responde las preguntas 3 y 4.
3. Determina la media de las horas de manejo de las dos empresas y señala la afirmación correcta con respecto a dicha medida de centralización.

a) La media de la empresa A es igual que la media de la empresa B.
b) La media de la empresa A es menor que la media de la empresa B.

c) La media de la empresa A es mayor que la media de la empresa B.

Me piden hallar la media de las horas, como se halla la media, se ordena de menor a mayor y se suman todos los números y se dividen en la cantidad de de números

Empresa A: 110+120+120+130+130+140+140+150=1040 ahora entre 8 (La cantidad de números) =130

Empresa B: 105+115+115+125+125+135+135+145= 1000 ahora entre 8 (La cantidad de números) = 125


ALTERNATIVA C

4. Elabora histogramas para representar las horas de manejo de los conductores de cada empresa de transporte interprovincial.

Expresamos y resolvemos situaciones cotidianas mediante sistemas de ecuaciones lineales

SEMANA 12

(día 3)

Reflexionamos sobre el desarrollo

1. Describe el procedimiento utilizado en la resolución de la situación significativa.



• Usa un diagrama rectangular que representa el terreno de Jorge.
• Relaciona lados, perímetro y área del rectángulo.
• Expresa el área del rectángulo como función cuadrática: 
f(x) = ax2 + bx + c.
• Halla el vértice de la función, reemplazando el valor de x en A(x) y determina el área máxima del terreno para cerca.
• Halla el valor de uno de los lados del rectángulo. 
V(x, f(x)), donde x = !"



2. ¿Existe alguna otra forma de dar respuesta a las preguntas de la situación significativa?

Si hay otra forma ,en representaciones gráficas, tabulares y simbólicas.

3. ¿Qué gimnasio le conviene a Olga si quiere asistir más de 4 meses? ¿Por qué?

A Olga le conviene asistir al gimnasio B, porque a partir del 5.o mes el costo es menor que el del gimnasio A.

SEMANA 12

(día 4)

5. Manuel y Karla, dos estudiantes de segundo grado de secundaria, se presentaron al concurso de admisión del COAR (Colegio de Alto Rendimiento). En la prueba escrita, que constó de veinte preguntas, los dos postulantes respondieron la totalidad de las interrogantes; sin embargo, Karla obtuvo sesenta y cinco puntos, mientras que Manuel, treinta puntos. Sabiendo que Karla tuvo quince respuestas correctas y Manuel, diez respuestas incorrectas, grafica el sistema de ecuaciones que representa cómo obtuvieron sus puntajes y determina cuál es el valor de cada respuesta correcta y de cada respuesta incorrecta.

a) 4; –2 b) 3; –1 c) 5; –2 d) 6; –2

Vamos a construir un sistema de ecuaciones lineales:

Llamemos:

x  =  puntos que se obtienen por una respuesta correcta

y  =  puntos que se pierden por una respuesta incorrecta

Sabemos que Karla tuvo 15 respuestas correctas y 5 incorrectas, mientras que Manuel acertó 10 y erró en las otras 10. Entonces el sistema será:

15x  -  5y  =  65

10x  -  10y  =  30

En la gráfica se observa como estas ecuaciones tienen en común el punto  x  =  5  y  =  2.

Para corroborar, resolvemos el sistema aplicando el método de reducción.

Multiplicamos por (-2) la primera ecuación:

-30x  +  10y  =  -130

10x  -  10y  =  30

Al sumar las ecuaciones se obtiene:

-20x  =  -100        ⇒        x  =  5 puntos

Sustituimos ese valor en la segunda ecuación original y se obtiene:

10(5)  -  10y  =  30        ⇒       y  =  2  puntos

Se obtienen 5 puntos por cada respuesta correcta y se pierden 2 puntos por cada respuesta incorrecta.

ALTERNATIVA  C

6. Miguel y Francisco deben pagar una deuda que suma S/3560. Si el doble de lo que debe Miguel menos lo que debe Francisco asciende a S/2260, ¿cuánto es la deuda de cada uno?

a) S/1940; S/1620 b) S/1900; S/1660 c) S/1860; S/1720 d) S/1930; S/1630

la deuda de Miguel equivale a x                      x: deuda de Miguel

x + y =3560                                                         y: deuda de Francisco

2x - y =2260

3x=5820      

x=1940

ahora hallamos la cantidad en y

x+ y= 3560

1940 + y=3560

y= 1620

rspta : a) S/.1940 ; S/.1620

ALTERNATIVA A

8. La mitad del valor en soles de la moneda A (del país “A”) más la tercera parte del valor en soles de la moneda B (del país “B”) es igual a siete soles. Además, la diferencia entre los valores en soles de las monedas A y B es cuatro soles.  Representa la situación dada con un sistema de ecuaciones lineales, resuelve aplicando cualquiera de los métodos de resolución y determina el valor en soles de la moneda A y de la moneda B.

a) A = S/2; B = S/3 b) A = S/7; B = S/4 c) A = S/6; B = S/10 d) A = S/10; B = S/6

A/2 + B/3 = 7

      A - B = 4

POR MÉTODO DE  SUSTITUCIÓN:

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. 

    A - B = 4         

          A = 4 + B

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable A, por el valor anterior:

                 A/2 + B/3 = 7

        (4 + B)/2 + B/3 = 7

     (12 + 3B + 2B)/6 = 7 

              (5B + 12)/6 = 7

                    5B + 12 = 7 × 6

                    5B + 12 = 42

                            5B = 42 - 12

                            5B = 30

                              B = 30/5

                              B = 6 

3. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

             A = 4 + B

             A = 4 + 6

             A = 10

4. Solución

A = 10   ;   B =  6

RESPUESTA:

==============

Moneda  "A"  =   10 soles

Moneda  "B"  =     6 soles

ALTERNATIVA D

9. Dos estudiantes del tercer grado se preparan para la olimpiada de matemática. En un tiempo libre, uno de ellos reta al otro: "encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que, si se invierte el orden de sus cifras, se obtiene un número que es igual al primero menos 27". ¿Cuál es la solución al reto?

a) 39 b) 40 c) 41 d) 42

ab = 41

a + b = 5

a - b = 3

----------------

  2a = 8

    a = 4

4 + b = 5

     b = 1

ALTERNATIVA C

10. Encuentra una ecuación de modo que junto con la ecuación 

7x + 5y = 20 formen un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya solución sea (5;–3)

El problema ya nos dice que "x" e "y" van a valer 5 y -3 respectivamente, por lo tanto, podemos saber que x+y = 2, porque 5+(-3) = 5-3 = 2, entonces, el sistema de ecuaciones nos quedaría:

7x+5y = 20

x+y = 2

Si resolvemos ese sistema de ecuaciones, podemos comprobar que "x" e "y" van a valer 5 y -3 respectivamente.

Te lo voy a resolver por el método de sustitución.

x+y = 2

x = 2-y ---> Se reemplazará "x" por "2-y".

7x+5y = 20

7(2-y)+5y = 20

14-7y+5y = 20

-2y = 20-14

y = 6/-2

y = -3 ---> Es correcto, "y" vale -3.

Ahora calculamos el valor de "x".

x+y = 2

x+(-3) = 2

x-3 = 2

x = 5 ---> Es correcto, "x" vale 5.

RTA: La ecuación encontrada es "x+y = 2".

Expresamos situaciones cotidianas mediante sistemas de ecuaciones lineales y las resolvemos

Reflexionamos sobre el desarrollo

1.¿Cual de las formas le conviene a Matias, si quiere alquilar mas de 4 juegos?¿Porque? 

• Verifico si las ecuaciones permiten dar solución a la primera pregunta de la situación.

- Reemplazo la ecuación (2) en la ecuación (1):

10x = 20 + 5x

5x = 20

x = 4

y = 20 + 5x

Matías debe alquilar 4 juegos para pagar el mismo monto en ambos servicio

Reemplazo el valor de x en la ecuación (2):

y = 10x

y = 10 (4)

y = 40

Respuesta: La expresión matemática que modela la primera forma es “y = 20 + 5x”.

Para la segunda forma, “y = 10x”.

Matías pagará S/ 40 en la primera y en lasegunda forma de usar el servicio.

Se concluye que las ecuaciones (1) y (2) permiten dar solución a la primera pregunta de la situación.


2.¿Como verificas si los resultados son correctos?

.-Volviendo a revisar el ejercicio para que no afecte el resultado.  

Dia 4

1.° Organizo los datos a partir de la situación.

                                             24
• Masa de la Tierra es 6 × 10 kg.

• Masa del Sol = 330 000 veces la masa de la Tierra.


2.° Presento también este dato como notación científica.

                                     5
Masa del Sol = 3,3 × 10 veces la masa de la Tierra.


3.° A partir de los datos y condiciones, tengo:

                                     5              24
Masa del Sol = 3,3 × 10 × (6 × 10 kg)

                 29
= 19,8 × 10 kg

                 30
= 1,98 × 10  kg

ALTERNATIVA C

Representamos cantidades muy grandes y muy pequeñas

Reflexionamos sobre el desarrollo

1. Describe el procedimiento que se ha realizado en la resolución de la situación significativa.

Calculo la distancia recorrida por la luz:
• En un minuto.
• En una hora.
• En un día.
• En un año.
Puedo expresar la distancia recorrida por la luz desde el inicio en notación científica o calcular primero las distancias y expresar el resultado final en notación.

2. ¿Cómo determinas si el resultado final es la expresión correcta en notación científica?


.-Lo determino viendo que el coeficiente sea mayor o igual a 1 pero menor que 10

.-El exponente debe ser entero (positivo o negativo).