Lineas Notables en un Triángulo

Comprendemos el problema

1. ¿Qué interés tienen las tres instituciones educativas?


.-Buscan un lugar donde construir un
polideportivo que sea equidistante a los tres colegios.


2. ¿Qué significa la palabra “equidistante”?

.-Equidistante significa "la misma distancia" "equi" es un prefijo latín que significa igual, la misma distancia entre dos objetos, animales o personas etc.


3. ¿Qué datos se tienen para dar respuesta a las preguntas de la situación significativa?


.-Tenemos la escala que es (1:3000), tambien tenemos el plano donde están ubicados los tres colegios y el interes de cada colegio.


4. ¿Qué figura geométrica se forma al trazar las distancias entre las instituciones educativas?

.-Se forma un triangulo.



5. ¿A qué escala está el plano y qué significa dicha
escala?

.-Esta a escala de (1:3000) y significa la distancia en la realidad.

Diseñamos o seleccionamos una estrategia o plan

1. ¿Cómo hallarías las distancias geométricas reales entre las instituciones educativas?


.-Empleariamos la relación de Escala:

E: distancia en el plano
    Distancia en la realidad


2. Describe el procedimiento que realizarías para dar respuesta a las preguntas de la situación significativa.

.-Hallaría las distancias reales con la relación a escala y el punto de ubicación de las tres instituciones.

.-Lo ubicaría entre las 200 millas y la comisaria de pachacamac

Ejecutamos la estrategia o plan

1. Con ayuda de una regla, halla las distancias entre las
 instituciones educativas en el plano y, con la escala
proporcionada en la situación significativa, halla las distancias reales.

.

E: distancia en el plano

   Distancia en la realidad 

-------      1    
-------   3000

La distancia en el plano entre la I. E. Manuel González Prada y la I. E. Juan Velasco Alvarado

  1     =  16    = 1(X) = (3000)(16)  X = 48 000       
3000      X

CONVERTIMOS A METROS:

48000/100 = 480 M

La distancia en el plano entre la I. E. Juan Velasco Alvarado y la I. E. Peruano Suizo

  1     =  25    = 1(X) = (3000)(25)  X = 75 000       
3000      X

CONVERTIMOS A METROS:

75000/100 = 750 M

La distancia en el plano entre la I. E. Manuel González Prada y la I. E. Peruano Suizo

  1     =  34    = 1(X) = (3000)(34)  X = 102 000       
3000      X

CONVERTIMOS A METROS:

102000/100 = 1020 M

2. Completa:

• La distancia real entre la I. E. Manuel González Prada y la I. E. Juan Velasco Alvarado es               m.
• La distancia real entre la I. E. Juan Velasco Alvarado y la I. E. Peruano Suizo es             m.
• La distancia real entre la I. E. Manuel González Prada y la I. E. Peruano Suizo es                 m.


• La distancia real entre la I. E. Manuel González Prada y la I. E. Juan Velasco Alvarado es   480 m.
• La distancia real entre la I. E. Juan Velasco Alvarado y la I. E. Peruano Suizo es    750  m.
• La distancia real entre la I. E. Manuel González Prada y la I. E. Peruano Suizo es    1020  m.




Con ayuda de una regla y un transportador, se trazó una recta por el punto medio de cada lado del triángulo como se  muestra en la siguiente figura:

3. Mide con un transportador el ángulo que forman la línea marcada con el lápiz y cada uno de los lados del triángulo, ¿cuánto mide el ángulo en cada caso?¿Qué características tiene esta línea o recta trazada con el lápiz respecto al lado por el que pasa?

.-Cada angulo mide 90°
.-Los casos que se presentan son mediatrices y se intersectan en un solo punto que es el circuncentro.


4. Mide las distancias desde el punto formado por las tres rectas marcadas hasta cada uno de los vértices del triángulo, ¿cómo son estas distancias?

.-Las distancias son 18cm

.-Son iguales



5. ¿Cómo denominarías a cada una de las rectas trazadas desde cada lado y al punto de intersección que forman estas tres rectas?

.-A las rectas las denominaría Mediatrices y al punto de intersección lo denominaría  Circuncentro.


6. Efectúa los mismos trazos en el plano presentado en la situación significativa y ubica el lugar donde estaría el polideportivo, ¿qué calles estarían cercanas a esta ubicación?

.-200 Millas y Los Álamos.

Reflexionamos sobre el desarrollo

1. ¿Cómo se puede comprobar que la ubicación del polideportivo responde al interés de las instituciones educativas?

.-Dando a ver que las distancias hacia la ubicación del polideportivo son iguales 


2. ¿De qué otra forma puedes realizar los trazos en el plano y responder la segunda pregunta de la situación?

.-Podríamos usar el teorema de pitagoras.

AREAS CUADRATICAS

Resolvemos situaciones de contexto

empleando funciones cuadráticas

DIA 4

Medidas de un terreno:

Jorge decidió cercar una parte de su terreno, para lo cual compró en oferta 300 m de malla. El deseo de Jorge es abarcar el máximo terreno rectangular posible.

1. ¿Cuáles serían las dimensiones del terreno cercado y cuál es su área?

                           2                                                  2                                                  2
a) 75 m y 5625 m      b) 70 m y 5526 m      c) 75 m y 5635 m                                        2
d) 57 m y 5625 m












ALTERNATIVA A

2. Describe el procedimiento utilizado para dar respuesta a la pregunta de la situación.Respuesta libre.

.-Lei la situación luego seleccione los datos , grafique el terreno, después halle la función , seguidamente relacione lado perimetro y area.

3. ¿Por qué el vértice se considera como punto máximo? ¿En qué situación el vértice sería el punto mínimo?

a. La parábola se abre hacia abajo, entonces el vértice es el máximo de la función; cuando la parábola se abre hacia arriba, el vértice es el mínimo.

b. La parábola se abre hacia arriba, entonces el vértice toma el valor cero; cuando la parábola se abre hacia abajo, el vértice toma un valor negativo.

c. La parábola se abre hacia arriba, entonces el vértice es el máximo; cuando la parábola se abre hacia abajo, el vértice es el mínimo.

d. La parábola se abre hacia abajo, entonces el vértice es un mínimo; cuando la parábola se abre hacia arriba, el vértice es un máximo.

ALTERNATIVA A



4. Escribe las diferencias entre área y perímetro de una figura geométrica.

a. El área es la medida de la superficie plana de la figura geométrica y el perímetro es la medida de todo el contorno de la figura geométrica.

b. El área es la medida de la figura geométrica y el perímetro es la medida de dos lados de la figura geométrica.

c. El área es la medida de los lados de la figura geométrica y el perímetro es la medida de la superficie de la figura geométrica.

d. El área es la medida de la superficie plana de la figura geométrica y el perímetro es la medida de las dos diagonales de la figura geométrica


        Área:                                    Perímetro:
  
.- Medida de la                         Medida de todo el
superficie plana de la                contorno de una
figura geométrica.                    figura geométrica.

.- A = largo x ancho

ALTERNATIVA A


5. ¿A qué corresponden los valores a, b y c en la fórmula del
vértice?

                                                      2  

                                   V=( -b   ;  -b + 4ac )  
                                           2a          4a

a) Coeficientes de los términos que se reemplazan en la fórmula.

b) Coeficientes de los términos de la ecuación de tercer grado que se remplaza en la fórmula.

c) Valores de la ecuación canónica que se reemplaza en toda ecuación.


d) Coeficientes del vértice que se reemplaza en la fórmula.


Los valores a, b y c son coeficientes de la ecuación general de la
función cuadrática que se remplazan en la fórmula del vértice.

ALTERNATIVA A



La trayectoria de un balón de fútbol:

El siguiente gráfico ilustra la trayectoria de un balón de fútbol. La altitud máxima del recorrido del balón respecto al suelo es de 10 m.

Durante su ascenso, ¿a qué distancia horizontal de su punto de partida el balón alcanzó una altura de 6 m?

Durante el descenso, ¿a qué distancia del punto de partida vuelve a estar a esa altura?

a) Ascenso 7,4 m; descenso 32,6 m
b) Ascenso 7,4 m; descenso 7,4 m
c) Ascenso 32,6 m; descenso 7,4 m

d) Ascenso 20 m; descenso 40 m


De la situación tenemos los datos:
• Altura máxima = 10 m
• Altura 6 m

Entonces el vértice es (X; 10).
















































De los valores obtenidos afirmamos que:
.- Durante su ascenso la altura de 6 m, alcanzó 7, 36 m de distancia horizontal
del punto de partida.

.- Durante el descenso la altura de 6 m, se alcanzó 32,64 m de distancia.

INGRESANDO A VENTAS

Resolvemos situaciones de contexto

empleando funciones cuadráticas

DIA 3

Un vendedor de frutas tiene 100 kg de naranja para la venta a S/2 por kilogramo;además, cada día que pasa se estropea 1 kg. Cuando baja la oferta de la fruta,el precio se incrementa en S/0,10 por kilogramo. Entonces, la función que representa el ingreso por la venta de todas las naranjas, en relación con el número de días que transcurren, está dada por el producto de la cantidad por el precio:
F(x) = (100 – x) (2 + 0,1x). Donde: “x” representa los días. ¿En cuántos días debe vender las naranjas para obtener el máximo ingreso? ¿Cuánto es el máximo ingreso que obtiene?

A partir de la situación, responde las siguientes preguntas (puedes responder de manera escrita u oral, grabando un audio):

1. ¿Qué estrategias se emplearon en el desarrollo?

Se utilizaron las estrategias:
• Diagramas tabulares (tablas)
• Diagramas cartesianos (plano cartesiano).


2. ¿De qué otra manera se puede expresar la función 
F(x) = (100 – x) (2 + 0,1x)?

F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x)
F(x) = 200 + 100 ·  0,1x ─ 2x ─ 0,1· x · x
                                                  2
F(x) = 200 + 10x ─ 2x ─ 0,1· x
                                      2
F(x) = 200 + 8x ─ 0,1x
                         2
_-F(x) = ─ 0,1x + 8x + 200

                                                                     2                  
Respuesta: La otra manera es F(x) = ─ 0,1x + 8x + 200


3. ¿Qué sucede con el ingreso si la venta se realiza en 20 días?

Si x = 20 días: 

F(x) = (100 – 20)(2 + 0,1·20)
F(x) = (80)(2 + 2)
F(x) = (80)(4)

F(x) = 320

Respuesta: Si la venta es en 20 días se logra un

ingreso de S/ 320, no se llega al ingreso máximo.


4. ¿Qué sucede con el ingreso si la venta excede los 40 días?

Si x = 40 días: 

F(x) = (100 – 40)(2 + 0,1·40)
F(x) = (60)(2 + 4)
F(x) = (80)(6)

F(x) = 480

Respuesta: Si la venta es en 40 días se logra un

ingreso de S/ 480.

5. ¿Qué partes de la gráfica obtenida no corresponden a la resolución de la situación?Argumenta tu respuesta

Para x = 120 días:
F(x) = (100 – 120)(2 + 0,1 · 120)
F(x) = (–20)(2 + 12)
F(x) = (–20)(14)

F(x) = –280

El ingreso es – 280 soles, lo que quiere decir que hay pérdida.

Respuesta: No corresponden tomar los valores fuera de la región sombreada,porque el ingreso es negativo, es decir, pagarás por que se las lleven.

FUNCIONES GEOMETRICAMENTE CUADRÁTICAS

Comprendemos el problema

1. Describe el movimiento vertical de caída libre mediante un dibujo.

2. ¿Qué datos se consideran en el experimento de Manuel?

.-Los datos que se consideran son la altura y el tiempo de caída de la esfera


3. ¿Qué nos piden hallar en la situación significativa?


.-Una expresión matemática (función) que permite modelar la caída de la esfera y dibujar su gráfica en el plano cartesiano.

4. ¿Cuáles son los datos que se relacionan para modelar la caída de la esfera?

.-Los datos que se relacionan son altura y tiempo.

Diseñamos o seleccionamos una estrategia o plan

1. La caída libre es un caso particular del MRUV y es cuando el cuerpo se deja caer libremente a la superficie de la tierra con velocidad inicial cero. Entonces,¿qué estrategia se puede aplicar para encontrar la función que modele el recorrido de la esfera?

a) Utiliza el ensayo y error.            b) Empieza por el final.
c) Usar una fórmula.      d) Resolver un problema más simple.

Respuesta: La estrategia es usar una fórmula.

ALTERNATIVA C

2. ¿Qué tipo de gráfico emplearías para representar la caída de la esfera?

a) Diagrama de Venn                        b) Diagrama de árbol
c) Diagrama cartesiano                     d) Diagrama lineal

Respuesta: Emplearía un diagrama cartesiano.

ALTERNATIVA C

Ejecutamos la estrategia o plan

1. ¿Cuál de las siguientes fórmulas del MRUV (caída libre) te permitirá modelar la caída de la esfera? Justifica tu

respuesta. Toma en cuenta que h es la altura desde la cual cae, t es el tiempo hasta llegar al suelo,Vo y Vf son las velocidades al inicio y final de la caída y g es la aceleración de la gravedad.


                                                                2                           2         2
a) Vf = Vo+ ht                   b) h = Vot +gt            c) Vf  = Vo  + 2hg
                                                                                            2

.-La fórmula que emplearía es:

                  2
 h = Vot +gt

                         2

2. Si hallas algunos valores con la fórmula de caída libre, ¿los resultados obtenidos serán los mismos que Manuel presentó en la tabla? Argumenta tu respuesta

Respuesta: Si comparamos los valores obtenidos con los de la tabla son muy similares.En conclusión, la fórmula es válida.
                      
3. Escribe la expresión matemática que permite hallar la altura desde la cual cae la esfera. Recuerda que:
                                 2
 Vo = 0 y g = 9,8 m/s


Respuesta: La expresión matemática que permite hallar la
altura es:
               2 
h = 4,9 ∙ t  , como función matemática se expresa así:

                           2
f(t) = 4,9 ∙ t

4. Calcula algunas alturas empleando la expresión de la función hallada, luego organiza los resultados en una tabla como la que usó Manuel.




























5. Gráfica en el diagrama cartesiano los resultados para la caída de la esfera, relacionando el tiempo y la altura desde la cual se deja caer la esfera.

Reflexionamos sobre el desarrollo

1. Describe el procedimiento realizado en Ejecutamos la estrategia o plan.

A manera de ejemplo presentamos el siguiente:

2. ¿Por qué la gráfica de la función solo muestra valores positivos?

- Porque el tiempo solo considera valores positivos.
- Mientras el tiempo transcurre la altura aumenta
proporcionalmente al cuadrado del tiempo.

3. Describe otras situaciones de la vida cotidiana que se puedan modelar con una función cuadrática y cuya gráfica resulte una parábola.

.-Construcción de tanque para agua, lanzamiento del balón de básquet, predecir ganancias y pérdidas en los negocios,construcción de puentes colgantes, antenas parabólicas, entre otros.

1. A Rubén le gusta jugar tiro al blanco y quiere saber cómo podría calcular el área de cada círculo del tablero. Su profesor le dice: “El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado del radio de la circunferencia y el valor de pi (π) sería la constante”. A partir de esta información, ¿cuál es la representación matemática de la función área del círculo A(c) que Rubén debe emplear para encontrar el área de cada círculo?
                  
                            2                                         3                                                                             3
a) A(r) = πr          b) A(r) = πr       c) A(x) = 2π       d) A(x) = πr

.-Representamos la expresión de la siguiente  manera: 
               2
 A(r) = πr

2. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función cuadrática: 
               2
g(x) =1 x
           2




                          a)                                                            

                                            

                                                           
                           b).                         

                           c).

                            




                           d).

      
.-Algunos puntos de la parábola son: (0; 0), (2; 2) y (–2; 2).

             

3. Identifica la tabla o tablas de valores que pueden ser funciones cuadráticas. Justifica tu respuesta.

a)                                                        b)

c) 














 

















                                           

ALTERNATIVA A

                                                      
                                                                                                         2
4. Dada la siguiente función: f(x) = (ax + m), donde “a” es un número real mayor que 7/3 pero menor que 100,34 ¿hacia dónde sería la orientación de la parábola?, ¿por qué?

Respuesta: La orientación de la función f(x) es hacia arriba


5. ¿Qué sucedería con la gráfica de una función cuadrática           
                     2
g(x) = (x + 1) + n, sabiendo que n es un número natural, si aumentáramos el valor de n en cinco unidades?

a) El vértice de la parábola se desplazaría cinco unidades hacia abajo en el eje de las ordenadas.
b) El vértice de la parábola se desplazaría cinco unidades hacia arriba en el eje de las ordenadas.
c) El vértice de la parábola se desplazaría una unidad hacia la derecha en el eje de las abscisas.

d) El vértice de la parábola se desplazaría una unidad hacia la izquierda en el eje de las abscisas.











Respuesta: El vértice de la parábola se desplazaría cinco

unidades hacia arriba en el eje de las ordenadas. 

6. Con 40 m de malla metálica se quiere cercar un terreno que tiene forma de un rectángulo donde se construirá una casa. ¿Cuál es la mayor área que podría tener la casa?

                  2                           2                                   2                                     2
       a) 40 m       b) 80 m          c) 100 m           d) 120 m

Ancho del terreno: x
Largo del terreno: y
El área: A = x ∙ y
Perímetro: 2x + 2y
2x + 2y = 40
x + y = 20
y = 20 – x



Área como notación funcional:
A = x(20 − 𝑥)
A(x) = x(20 − 𝑥).
                2
A(x) = – x + 20x

                                                                                               2

Respuesta: La mayor área que podría tener la casa es 100 m

, y esa área se produce si el ancho x = 10 m